Question

已知：如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B上的点，A1M=

1

3

A1B，N是B₁D₁上的点，B1N=

1

3

B1D1．
求证：（I）MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线；
      （II）求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，推出A₁，B₁，D₁，B，M，N的坐标，求出

MN

•

A1B

=0，

MN

•

B1D1

=0，即可证明MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线；
（2）求出

MN

，再求出它的模，得出它的长度即可．

解答：（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），B（1，0，0），
∵A₁M=

1

3

A₁B，B₁N=

1

3

B₁D₁，
∴M（

1

3

，0，

2

3

），N（

2

3

，

1

3

，1）
∴

A1B

=(1，0，-1)，

B1D1

=（-1，1，0），

MN

=(

1

3

，

1

3

，

1

3

)，

MN

•

A1B

=(1，0，-1)• (

1

3

，

1

3

，

1

3

)=

1

3

×1+0×

1

3

-1×

1

3

=0，

MN

•

B1D1

=(-1，1，0)• (

1

3

，

1

3

，

1

3

)=-1×

1

3

+1×

1

3

+0×

1

3

=0
∴MN⊥A₁B，MN⊥B₁D₁，又MN与A₁B和B₁D₁都相交
故MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线．…10分
（2）解：因为

MN

=(

1

3

，

1

3

，

1

3

)，
所以|MN|=

( 1 3 )2+( 1 3 )2+( 1 3 )2

=

3

3

∴MN的长为

3

3

…12分．

点评：本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明方法，线段长度的求法，考查空间想象能力，计算能力．