Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相
交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

2

10

，

2 5

5

．
（1）求tan(-

19π

4

+α+β)的值；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得cosα、cosβ的值，根据α、β为锐角，求得sinα、sinβ的值，从而求得tanα、tanβ的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β），再利用诱导公式求得tan(-

19π

4

+α+β)的值．
（2）利用两角和的正切公式求得tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]的值，再根据α+2β的范围，求得α+2β的值．

解答：解：（1）由条件得cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

，α为锐角，
故sinα＞0且sinα=

7 2

10

．同理可得sinβ=

5

5

，
因此tanα=7，tanβ=

1

2

．
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

7+ 1 2

1-7× 1 2

=-3．
∴tan(-

19π

4

+α+β)=tan(α+β-

3π

4

)=

tan(α+β)-tan 3π 4

1+tan(α+β)tan 3π 4

=-

1

2

．
（2）tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=

-3+ 1 2

1-(-3)× 1 2

=-1，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜α+2β＜

3π

2

，从而α+2β=

3π

4

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．