Question

10．已知f（x）=x²+x，f′（x）为f（x）的导函数，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=2x+1，a_n+1=f′（a_n）=2a_n+1．变形为a_n+1+1=2（a_n+1）．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）f（x）=x²+x，f′（x）=2x+1，
a_n+1=f′（a_n）=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n．
则A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{na_n}的前n项和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．