Question

18．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$，且△ABC最大边的长为$\sqrt{17}$，则△ABC的最小边为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由条件求得tan C=-1，可得C=$\frac{3π}{4}$，C＞B＞A，故a为最小的边，再利用正弦定理求得a的值．

解答 解：△ABC中，已知tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{3}{5}$＜1，∴A＜B＜$\frac{π}{4}$，∴C＞$\frac{π}{2}$．
再根据tan C=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-1，∴C=$\frac{3π}{4}$，∴C＞B＞A．
再根据sin²A+cos²A=1，求得sinA=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，cosA=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，
且△ABC最大边的长为c=$\sqrt{17}$，则△ABC的最小边为a，
再利用正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{17}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，求得a=$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和的正切公式，正弦定理的应用，属于中档题．