Question

7．已知（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展开式中常数项为1，则${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx的值为$\frac{33}{2}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式，常数项就是找x的指数为零的项，求出第几项，代入就可求出结论，需要分类讨论，再根据定积分计算即可．

解答 解（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展开式的通项公式为T_r+1=C₆^r（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^ra^6-r，
其中（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^r的展开式的通项公式为T_k+1=C_r^k（2^r-k）x^r-3k，0≤k，r≤6，
当r-3k=0时，展开式中只有常数项，
当k=0时，r=0，a⁶，
当k=1时，r=3，C₃¹（2^3-1）•C₆³a³，=240a³，
当k=2时，r=6，C₆²（2^6-2）=240，
∴a⁶+240+240a³=1，
解得a=-1，
∴${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx=（x⁴+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{-1}^{2}$=$\frac{33}{2}$，
故答案为：$\frac{33}{2}$．

点评 本题主要考查了二项式定理，定积分的计算，解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中常有体现的．本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法．