Question

16．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若PA=AD，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AD，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAD，取CD中点O，连结MO、NO，推导出平面MON∥平面PAD，从而AB⊥平面MON，由此能证明MN⊥AB．
（2）由（1）得MN⊥CD，取PD中点G，连结AG、NG，则四边形AMNG是平行四边形，推导出MN⊥PD，由此能证明MN⊥平面PCD．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
取CD中点O，连结MO、NO，
∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MO∥AD，NO∥PD，
∵MO∩NO=O，AD∩PD=D，
MO，NO?平面MON，AD、PD?平面PAD，
∴平面MON∥平面PAD，
∴AB⊥平面MON，∴MN⊥AB．
（2）∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD，
取PD中点G，连结AG、NG，则NG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
∵AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴AM$\underset{∥}{=}$GN，∴四边形AMNG是平行四边形，MN∥AG，
∵PA=AD，G是PD中点，∴AG⊥PD，∴MN⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．