Question

6．在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sin（C-A）+sinB=$\frac{4}{3}$sinC，$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$，则$\frac{a}{b}$的取值范围是[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC，（sinC≠0），求得cosA=$\frac{2}{3}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
由已知可得$\frac{cosB}{sinB}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]，求得sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1），利用正弦定理即可求得$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

解答 解：∵sin（C-A）+sinB=$\frac{4}{3}$sinC，
⇒sin（C-A）+sin（C+A）=$\frac{4}{3}$sinC，
⇒2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC，（sinC≠0），
⇒cosA=$\frac{2}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∵$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$，
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}cosB+\frac{2}{3}sinB}{sinB}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]，
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=$±\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]，
⇒sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）．
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．
故答案为：[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．