Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x-2）²+y²=16相交所得的弦长为$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），
可得渐近线方程为：y=2x，圆（x-2）²+y²=16的圆心与半径分别为（2，0），4，
该渐近线与圆（x-2）²+y²=16相交所得的弦长为：$2\sqrt{{4}^{2}-（{\frac{|4-0|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}）}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，仔细与圆的位置关系的应用，考查计算能力．