Question

12．已知函数f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|，若?x₀∈R，不等式f（x₀）≥0成立，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x+2y-m=6，是否存在x，y，使得x²+y²=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得m≥|2x+1|+|2x-3|有解，利用绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x-3|的最小值，可得m的范围．
（2）要使存在x，y，只要圆x²+y²=19和直线x+2y-m=6有交点，即圆心（0，0）到直线x+2y-m-6=0的距离小于或等于半径$\sqrt{19}$，由此求得|m+6|≤$\sqrt{95}$ ①．而由（1）可得m≥4，故|m+6|≥10 ②．显然，①②相互矛盾，故不存在x，y，使得x²+y²=19成立．

解答 解：（1）由题意可得函数f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|≥0有解，即 m≥|2x+1|+|2x-3|有解，
故m大于或等于|2x+1|+|2x-3|的最小值．
由于|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，∴m≥4．
（2）若x+2y-m=6，设存在x，y，使得x²+y²=19成立，
则圆x²+y²=19和直线x+2y-m=6有交点，
即圆心（0，0）到直线x+2y-m-6=0的距离小于或等于半径$\sqrt{19}$，
即$\frac{|m+6|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{19}$，即|m+6|≤$\sqrt{95}$ ①．
而由（1）可得m≥4，可得|m+6|≥10 ②．
显然，①②相互矛盾，故不存在x，y，使得x²+y²=19成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，直线和圆相交的性质，属于中档题．