Question

11．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（1）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论；
（2）如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的关系结合单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式f（ax+1）≤f（x-2）在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，转化为有关 x的不等式在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立的问题，利用此时分离法进行求最值即可．

解答 解：（1）函数函数f（x）在（-∞，0）上的单调递减：
证明：设x₁＜x₂＜0，
则-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即f（x₁）＞f（x₂），
则函数函数f（x）在（-∞，0）上的单调递减．
（2）∵f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
∴不等式等价为f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
即|ax+1|≤|x-2|=2-x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
得x-2≤ax+1≤2-x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
从而$a≥\frac{x-3}{x}$且$a≤\frac{1-x}{x}$对$x∈[\frac{1}{2}，1]$恒成立，
∵y=$\frac{x-3}{x}$=1-$\frac{3}{x}$在[$\frac{1}{2}$，1]上为增函数，
则此时函数的最大值为y=-2，
y=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{x}$-1在[$\frac{1}{2}$，1]上为减函数，
则此时函数的最小值为y=0，
则a≥-2且a≤0，
即a∈[-2，0]．

点评 本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力．综合性较强，有一定的难度．