Question

20．已知定义在[-2，2]上的函数f（x）=x|x|+x+1，若f（a）+f（a+1）＞2，则实数a的取值范围（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• C． [-2，-$\frac{1}{2}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 分别讨论当-2≤a＜-1时，当-1≤a＜0时，当0≤a≤1时，当1＜a≤2时分别解不等式即可．

解答 解：当-2≤x＜0时，f（x）=-x²+x+1，
当0≤x≤2时，f（x）=x²+x+1，
∵f（a）+f（a+1）＞2，
当-2≤a＜-1时，f（a）+f（a+1）=-a²+a+1-（a+1）²+（a+1）+1=-2a²+2＞2，不成立，
当-1≤a＜0时，f（a）+f（a+1）=-a²+a+1+（a+1）²+（a+1）+1=4a+4＞2，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
当0≤a≤1时，f（a）+f（a+1）=a²+a+1+（a+1）²+（a+1）+1=2a²+4a+4＞2，即（a+1）²＞0，解得0≤a≤1，
当1＜a≤2时，a+1＞2∉[-2，2]，
综上所述a取值范围为（-$\frac{1}{2}$，1]，
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的问题，以及参数的取值范围，关键是分类讨论，属于中档题．