Question

8．已知点A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到准线l的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点F与原点O分别在直线AB与直线AD上，探究：直线BD与x轴间的关系．

Answer 1

分析 （1）利用焦点F到准线l的距离为2，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）直线AB：x=my+1，与抛物线C：y²=4x联立可得y²-4my-4=0，证明B，D的纵坐标相等，即可得出结论．

解答 解：（1）∵焦点F到准线l的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：x=my+1．
与抛物线C：y²=4x联立可得y²-4my-4=0，∴y₁y₂=-4，
直线AO的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，令x=-1，则y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，即D（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
∴-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{4{y}_{1}}{4{x}_{1}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$=y₂，
∴BD∥x轴．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．