Question

9．讨论函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（-∞，-1）上的单调性．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（-∞，-1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而判断f（x₁），f（x₂）的关系，这样便可得出f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

解答 解：设x₁＜x₂＜-1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，$0＜\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1$，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．