Question

10．双曲线关于两坐标对称，且与圆x²+y²=10相交于点P（3，-1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，此双曲线的方程为$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．

Answer 1

分析 求出圆在P处的切线斜率，根据焦点的位置不同分情况讨论，使用待定系数法列方程解出．

解答 解：圆x²+y²=10在P（3，-1）处的切线斜率为3．
（1）若焦点在x轴上，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{b}{a}=3}\end{array}\right.$，解得a²=$\frac{80}{9}$，b²=80．∴双曲线方程为$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．
（2）若焦点在y轴上，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{a}{b}=3}\end{array}\right.$，方程无解．
故答案为$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．

点评 本题考查了双曲线的方程，渐近线方程，曲线的切线，属于中档题．