Question

5．已知数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N^*），a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．当n≥2时，S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$（S_n-S_n-1）=0．变形为$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）对n分类讨论，利用“分组求和”与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．
∴当n≥2时，S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$（S_n-S_n-1）=0．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=（2n-1）（2n+1）=4n²-1．
当n=2k（k∈N^*）时，$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$
=4[1²-2²+3²-4²+…+（n-1）²-n²]-n
=-4（1+2+3+4+…+n）-n
=$-\frac{4n（n+1）}{2}$-n=-2n²-3n．
当n=2k-1（k∈N^*）时，$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$
=4[1²-2²+3²-4²+…-（n-1）²+n²]-n
=4[1-（2+3+4+…+n）]-n
=8$-\frac{4n（n+1）}{2}$-n=8-2n²-3n．
∴$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}-3n，n为偶数}\\{8-2{n}^{2}-3n，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．