Question

20．过点M（-2，0）作直线l与双曲线x²-y²=1交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 当直线l的斜率存在时，和双曲线方程联立后利用根与系数关系，求出AB的中点，可得P的轨迹方程；当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，同样满足

解答 解：设直线l的方程为y=k（x+2），代入双曲线x²-y²=1，可得（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴AB的中点为（$\frac{2{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$），
设P（x，y），则x=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴x²+4x-y²=0；
当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，把x=-2代入双曲线x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），P（-4，0）同样满足．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常用“设而不求的”解题方法，即利用一元二次方程的根与系数关系求得直线与圆锥曲线的两个交点的横坐标的和与积，此题考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．