Question

10．已知直线l：mx-y-1=0（m∈R），圆C：x²-2x+y²-3=0．
（1）证明：不论m取任何实数，直线l总于圆C相交；
（2）设直线l将圆C分割成的两端圆弧的弧长之比为λ，试探求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将直线l变形后，得出直线l恒过A，然后将圆C化为标准方程，找出圆心C的坐标及半径r，利用两点间的距离公式求出点A到圆心C的距离d，根据d小于r得到A点在圆C内，进而确定出直线l与圆C总相交；
（2）由题意，CA⊥l时，圆心角为90°，λ=3或$\frac{1}{3}$；直线l过圆心C时，λ=1，即可得出结论．

解答 （1）证明：mx-y-1=0（m∈R），恒过A（0，-1），
将圆C化为标准方程得：（x-1）²+y²=4，
∴圆心C为（1，0），半径r=2，
∵点A到圆心C的距离d=$\sqrt{2}$＜2=r，
∴点A在圆内，
则l与C总相交；
（2）解：由题意，CA⊥l时，圆心角为90°，λ=3或$\frac{1}{3}$；
直线l过圆心C时，λ=1，∴λ∈[$\frac{1}{3}，1$]∪[1，3]．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，恒过定点的直线方程，圆的标准方程，以及点与圆位置关系，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．