Question

19．若不共线向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{OB}$|，存在实数λ使得$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，则$\frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{OA}|}$的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• C． （0，$\frac{4}{3}$）
• D． （$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，则-1＜cosθ＜1，根据向量的数量积的运算求出λ=$\frac{1}{3}$，再求出|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OA}$|•$\frac{1}{3}$$\sqrt{2（1+cosθ）}$，问题得以解决．

解答 解：∵不共线向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{OB}$|，
设向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，则-1＜cosθ＜1，
∵$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴[$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$]$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$[$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$]，
∴λ|$\overrightarrow{OA}$|²+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OA}$=2（1-λ）|$\overrightarrow{OB}$|²+2λ$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OA}$，
∴λ|$\overrightarrow{OA}$|²+（1-λ）|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OA}$|cosθ=2（1-λ）|$\overrightarrow{OB}$|²+2λ|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OA}$|cosθ，
∴4λ+2（1-λ）cosθ=2（1-λ）+4λcosθ，
∴（2-6λ）cosθ=2-6λ，
∴2-6λ=0，即λ=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴|$\overrightarrow{OC}$|²=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）²=$\frac{1}{9}$|$\overrightarrow{OA}$|²+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{OB}$|²+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OA}$|cosθ=$\frac{2}{9}$|$\overrightarrow{OA}$|²+$\frac{2}{9}$|$\overrightarrow{OA}$|²cosθ，
∴|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OA}$|•$\frac{1}{3}$$\sqrt{2（1+cosθ）}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2（1+cosθ）}$，
∵-1＜cosθ＜1，
∴0＜$\frac{1}{3}$$\sqrt{2（1+cosθ）}$＜$\frac{2}{3}$，
∴则$\frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{OA}|}$的取值范围为（0，$\frac{2}{3}$），
故选：A．

点评 本题考查了向量的数量积德运算和向量的夹角公式，以及三角形函数的性质，属于中档题．