Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设d_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求d₂₀₁₀．

Answer 1

分析 （1）求得a₂=3a₁+2=5，当n＞1时，将n换为n-1，两式相减，再由条件可得b_n=2b_n-1，运用等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）求出c_n，运用等比数列的求和公式，即可得到所求；
（3）由（1）可得a_n+1-2a_n=3•2^n-1；即有$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，可得{d_n}为等差数列，由等差数列的通项公式，即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
可得a₂+a₁=4a₁+2，即有a₂=3a₁+2=5，
当n＞1时，S_n=4a_n-1+2，
相减可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
即有a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
即为b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
则b_n=b₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（3）由（1）可得a_n+1-2a_n=3•2^n-1；
即有$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
即为d_n+1-d_n=$\frac{3}{4}$，
即有d_n=d₁+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{3n-1}{4}$，
则d₂₀₁₀=$\frac{3×2010-1}{4}$=$\frac{6029}{4}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用下标相减法和构造法，考查运算能力，属于中档题．