Question

4．关于x的不等式a•4^x+2^x+1＞0恒成立，常数a的取值范围[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 关于x的不等式a•4^x+2^x+1＞0恒成立化为a＞-$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立；用换元法设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，求出f（t）的最大值即可．

解答 解：关于x的不等式a•4^x+2^x+1＞0恒成立，
∴a•4^x＞-1-2^x恒成立，
即a＞-$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立；
设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则
f（t）=-t²-t=-${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴常数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，将不等式进行转化为二次函数的最值问题进行求解是解题的关键．