Question

15．若实数x、y满足xy＞0，则$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$的最大值为（　　）

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 4$-2\sqrt{2}$
• D． 4$+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用换元法，设x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同号．即有x=2s-t，y=t-s，则$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=$\frac{2s-t}{s}$+$\frac{2t-2s}{t}$
=4-（$\frac{t}{s}$+$\frac{2s}{t}$），再由基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：可令x+y=s，x+2y=t，
由xy＞0，可得x，y同号，s，t同号．
即有x=2s-t，y=t-s，
则$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=$\frac{2s-t}{s}$+$\frac{2t-2s}{t}$
=4-（$\frac{t}{s}$+$\frac{2s}{t}$）≤4-2$\sqrt{\frac{t}{s}•\frac{2s}{t}}$=4-2$\sqrt{2}$，
当且仅当t²=2s²，取得等号，
即有所求最大值为4-2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．