Question

6．已知函数f（x）=|ax²-2x+1|，x∈[0，4]．
（1）当a＜0时，求f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集；
（2）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得ax²-2x+$\frac{1}{2}$≥0或ax²-2x+$\frac{3}{2}$≤0，讨论判别式和端点处的函数值，结合二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）讨论a的范围，结合二次函数的对称轴和区间的关系，求得最大值即可．

解答 解：（1）当a＜0时，x∈[0，4]，可得
f（x）≥$\frac{1}{2}$，即为ax²-2x+1≥$\frac{1}{2}$或ax²-2x+1≤-$\frac{1}{2}$，
即有ax²-2x+$\frac{1}{2}$≥0或ax²-2x+$\frac{3}{2}$≤0，
由△₁=4-2a＞0，△₂=4-6a＞0，
令g（x）=ax²-2x+$\frac{1}{2}$，h（x）=ax²-2x+$\frac{3}{2}$，
g（0）=$\frac{1}{2}$＞0，h（0）=$\frac{3}{2}$＞0，g（4）=16a-$\frac{15}{2}$＜0，h（4）=16a-$\frac{13}{2}$＜0，
可得ax²-2x+$\frac{1}{2}$≥0的解为0≤x≤$\frac{2-\sqrt{4-2a}}{2a}$；
ax²-2x+$\frac{3}{2}$≤0的解为$\frac{2-\sqrt{4-6a}}{2a}$≤x≤4．
可得f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集为[0，$\frac{2-\sqrt{4-2a}}{2a}$]∪[$\frac{2-\sqrt{4-6a}}{2a}$，4]；
（2）f（x）=|ax²-2x+1|，x∈[0，4]．
当a＜0时，f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$）递减，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，4）递增，
由f（0）=1，f（4）=|16a-7|＞1，可得f（4）取得最大值，且为7-16a；
当a=0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，4）递增，可得f（4）=7取得最大值；
当0＜a≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$）递减，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，4）递增，
且f（4）=|16a-7|＞1，即有f（4）取得最大值；
当$\frac{1}{4}$＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$）递减，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，4）递减，
且f（$\frac{1}{a}$）=|1-$\frac{1}{a}$|＞1，即有f（$\frac{1}{a}$）取得最大值；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$）递减，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$，$\frac{1}{a}$）递增，
在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$）递减，在（$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$，4）递增，
且f（$\frac{1}{a}$）=|1-$\frac{1}{a}$|＜1，即有f（4）取得最大值；
当a≥1时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，（$\frac{1}{a}$，4）递增，且f（4）＞1，即有f（4）取得最大值．
综上可得，当a≤$\frac{1}{4}$时，f（4）=7-16a为最大值；
当$\frac{1}{4}$＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{a}$）取得最大值$\frac{1}{a}$-1；
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（4）取得最大值16a-7．

点评 本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，同时考查含绝对值函数的最值的求法，注意二次函数的单调性，考查运算能力，属于难题．