Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，记数列{c_n}的前n项和T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+2）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项为2，将n换为n-1相减，运用等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）由对数的运算性质和数列的求和方法：裂项相消求和，求得T_n，再由恒成立思想，结合基本不等式即可得到k的范围．

解答 解：（1）S_n=2a_n-2，可得a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，又n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2，
相减可得a_n=2a_n-2a_n-1，
即为a_n=2a_n-1，
则a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
T_n≤k（n+2），即为k≥$\frac{n}{（n+1）（n+2）}$，
由f（n）=$\frac{n}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+\frac{2}{n}+3}$，
n+$\frac{2}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{2}{n}}$=2$\sqrt{2}$，由于n为自然数，可得
n=1或2时，取得最小值3，
即有f（n）的最大值为$\frac{1}{6}$，
即有k≥$\frac{1}{6}$．
则实数k的取值范围是[$\frac{1}{6}$，+∞）．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用下标相减法，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．