Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先哟题意得到$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$，分别表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的单位向量，求出向量的夹角，向量的模．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$，分别表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的单位向量，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴以$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$为直径画一个圆，则$\overrightarrow{c}$在该圆上，且圆的半径为$\sqrt{3}$，
当$\overrightarrow{c}$过以$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$为的中点时，|$\overrightarrow{c}$|取最大值：$\sqrt{3}$+1，
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、圆的性质、向量的三角形法则，考查了推理能力、数形结合的能力，属于中档题．