Question

6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+ccosA+acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2bcosA+ccosA+acosC=0，利用正弦定理可得：2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，进而化为2cosA=-1，根据A的范围即可得出．
（2）根据余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，9=b²+c²+bc，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵2bcosA+ccosA+acosC=0，
∴2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，
∴2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴2sinBcosA=-sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）根据余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc$cos\frac{2π}{3}$，∴9=b²+c²+bc≥3bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=3时取等号．
∴bc的最大值为3．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．