Question

15．求经过点（1，-7）与圆x²+y²=25相切的切线方程，并求切线的长．

Answer 1

分析 设出切线的斜率为k，根据切线过已知点表示出出切线方程，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d等于半径r，故利用点到直线的距离公式表示出d，让d等于r列出关于k的方程，求出方程的解即可确定出切线方程．求出（1，-7）到圆心O（0，0）的距离，由此利用勾股定理能求出切线长．

解答 解：若切线的斜率不存在，由于切线过点（1，-7），直线方程为x=1
与圆x²+y²=25 相交，不满足要求
若切线的斜率不存在，设切线的斜率为k，由于切线过点（1，-7），
设切线的方程为y+7=k（x+1）
即kx-y+k-7=0
由直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，
∴$\frac{|k-7|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，或k=$\frac{4}{3}$，
∴切线的方程为3x+4y+25=0或4x-3y-25=0．
∵圆x²+y²=25的圆心为O（0，0），半径r=5，
∴（1，-7）到圆心O（0，0）的距离d=$\sqrt{1+49}$=5$\sqrt{2}$，
∴切线长为：$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=5．

点评 本题考查了直线与圆相切性质，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，是中档题．