Question

7．已知偶函数f（x）对任意x均满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[1，2]时，f（x）=x+1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+5）=2有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （5，7）
• B． （4，6）
• C． （5，9）
• D． （4，7）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数的周期性以及函数在一个周期上的解析式，利用函数和方程之间的关系转化为f（x）-2=log_a（x+5），利用数形结合转化为两个函数有5个不同的交点，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵偶函数f（x）对任意x均满足f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
即函数f（x）的周期是2，
若0≤x≤1，则-1≤-x≤0，
则1≤2-x≤2，
则f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x+1=3-x，0≤x≤1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-x，}&{0≤x≤1}\\{x+1，}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
由f（x）-log_a（x+5）=2得f（x）-2=log_a（x+5），
设h（x）=f（x）-2，g（x）=log_a（x+5），
则函数h（x）在[0，2]上的解析式为h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，}&{0≤x≤1}\\{x-1，}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
作出函数h（x）的图象如图：
若0＜a＜1，则函数g（x）=log_a（x+5）与h（x）只有一个交点，不满足条件．
若a＞1，要使方程f（x）-log_a（x+5）=2有5个不相等的实数根，
则等价为h（x）与g（x）有5个不同的交点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞g（0）}\\{h（2）＜g（2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}5＜1}\\{lo{g}_{a}7＞1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞5}\\{1＜a＜7}\end{array}\right.$得5＜a＜7，
故选：A．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的对称性、周期性的确定及应用，考查转化思想与作图能力，利用数形结合是解决本题的关键．属于难题．