Question

2．已知：函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
（1）求证：f（x+y）=f（x）g（y）+f（y）g（x）；
（2）试讨论函数g（x）的奇偶性与单调性．

Answer 1

分析 （1）根据指数幂的运算法则进行化简即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
∴f（y）=$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$，g（y）=$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$，
则f（x）g（y）+f（y）g（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$+$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$
=$\frac{{2}^{x}{2}^{y}+{2}^{x}{2}^{-y}-{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$+$\frac{{2}^{x}{2}^{y}-{2}^{x}{2}^{-y}+{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$
=$\frac{2（{2}^{x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}）}{4}$=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-（x+y）}}{2}$，
∵f（x+y）=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-（x+y）}}{2}$．
∴f（x+y）=f（x）g（y）+f（y）g（x）；
（2）∵g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{2}$=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g（x），
∴函数g（x）为偶函数，
当x≥0时，设0≤x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1}{2}$（${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）
=$\frac{1}{2}$（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$，
∵0≤x₁＜x₂，
∴1≤${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
则${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$＞1•
则g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
即函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
则函数g（x）在（-∞，0]为减函数．

点评 本题主要考查函数式的证明以及函数奇偶性和单调性的判断，利用指数幂的运算法则以及函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．运算量比较大．