Question

14．利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f（x）=-x³-3x+5；
（2）f（x）=2x•ln（x-2）-3；
（3）f（x）=e^x-1+4x-4；
（4）f（x）=3（x+2）（x-3）（x+4）+x．

Answer 1

分析 分别画出函数的图象，由函数零点存在定理即可判断．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-x³-3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）=-1³-3×1+5=1＞0，f（2）=-2³-3×2+5=-9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故必存在零点的区间是 （1，2），图象如图所示：
（2）∵函数f（x）=2x•ln（x-2）-3是单调递增函数，
又∵f（4）=8ln2-3＞0，f（3）=-3＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（3，4）上，
故必存在零点的区间是 （3，4），图象如图所示：

（3）∵函数f（x）=e^x-1+4x-4是单调递增函数，
又∵f（1）=1+4-4＞0，f（0）=$\frac{1}{e}$-4＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（0，1）上，
故必存在零点的区间是 （0，1），图象如图所示：

（4）f（x）=3（x+2）（x-3）（x+4）+x的图象如图所示，
∵f（-4）=-4＜0，f（-3）=15＞0，f（-2）=-2＜0，f（3）=3＞0，f（2）＜0，
∴函数f（x）的零点在区间（-4，3），（-3，-2），（2，3）上．

点评 本题考查函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点．