Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，-b），若|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF|}$，则双曲线的离心率值为$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=0，即（a，b）•（-c，b）=-ac-b²=0，由此求得离心率$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：∵点B（0，-b），A（a，0），F（-c，0），
又|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF|}$，平方可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=0，
即（a，b）•（-c，b）=-ac-b²=0，即 b²=ac=c²-a²，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线的性质、标准方程，两个向量的数量积公式，属于中档题．