Question

9．设E，F分别是正方形ABCD中CD、AB边的中点，将△ADC沿对角线AC对折，使得直线EF与AC异面，记直线EF与平面ABC所成角为α，与异面直线AC所成角为β，则当tanβ=$\frac{1}{2}$时，tanα=（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{16}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{51}}{17}$
• D． $\frac{\sqrt{57}}{19}$

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出tanα．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
过D′H⊥平面ABCD，交BD于H，设正方形ABCD边长为2，设OH=a，
则OD=OA=OC=$\sqrt{2}$，D′H=$\sqrt{2-{a}^{2}}$，
则A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（0，$\sqrt{2}$，0），D′（-a，0，$\sqrt{2-{a}^{2}}$），
E（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$），F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{2}-a}{2}$，-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$），
∵直线EF与平面ABC所成角为α，与异面直线AC所成角为β，则当tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}•\sqrt{3-\frac{\sqrt{2}}{2}a}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|-\frac{\sqrt{6}}{4}|}{\sqrt{\frac{5}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{51}}{17}$．
故选：C．

点评 本题考查空间角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．