Question

5．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＞b且sin2B+sin2C=tan$\frac{A}{2}$（cos2B+cos2C）．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过和差化积公式，三角函数恒等变换的应用化简得tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，利用正切函数的图象和性质求出A的值．
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答 解：（I）∵sin2B+sin2C=tan$\frac{A}{2}$（cos2B+cos2C）．
∴2sin（B+C）cos（B-C）=2tan$\frac{A}{2}$cos（B+C）cos（B-C），
∴sinAcos（B-C）=-tan$\frac{A}{2}$cosAcos（B-C），
∴可得：sinA=-tan$\frac{A}{2}$cosA，
∴可得：tanA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$=-tan$\frac{A}{2}$，解得：tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）解得：A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则16=b²+c²+bc，
∴（b+c）²-bc=16，
即bc=（b+c）²-16≤[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化简得，（b+c）²≤$\frac{64}{3}$（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，又b+c＞a=4，
综上得，b+c的取值范围是（4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查余弦定理的应用，和差化积公式，三角函数恒等变换的应用以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．