Question

2．已知P（-2，-3）和以Q为圆心的圆（x-4）²+（y-2）²=9．
（1）求出以PQ为直径的圆Q₁的一般式方程．
（2）若圆Q和圆Q₁交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆（x-4）²+（y-2）²=9可得圆心Q（4，2）．线段PQ的中点Q₁（1，-$\frac{1}{2}$），|PQ₁|=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，即可得出．
（2）由于∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，可得∠PAQ=90°．因此直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．
（3）由于交点A，B既在圆（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圆（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$上．两方程相减即可得出直线AB的方程．

解答 解：（1）由圆（x-4）²+（y-2）²=9可得圆心Q（4，2）．
∴线段PQ的中点Q₁（1，-$\frac{1}{2}$），|PQ₁|=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴以PQ为直径，Q₁为圆心的圆的方程为（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$；
（2）∵∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，∴∠PAQ=90°．
∴直线PA是以Q为圆心的圆的切线．
同理PB是以Q为圆心的圆的切线．
（3）由于交点A，B既在圆（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圆（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$上．
两方程相减可得：6x+5y=25，即为直线AB的方程．

点评 本题考查了圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、两圆相交的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．