Question

17．O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，直线l：y=m（x-1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若S_△AOF=3S_△BOF，则实数m的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得F（1，0），设A，B的纵坐标为y₁，y₂，则由S_△AOF=3S_△BOF，求得y₁+3y₂=0，联立直线方程和抛物线的方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，解方程即可得到m的值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），
设A，B的纵坐标为y₁，y₂，
则由S_△AOF=3S_△BOF，得$\frac{1}{2}$|OF||y₁|=3•$\frac{1}{2}$|OF||y₂|，
即y₁+3y₂=0，
由直线y=m（x-1），代入抛物线的方程，消去x，可得
$\frac{m}{4}$y²-y-m=0，即有y₁+y₂=$\frac{4}{m}$，y₁y₂=-4，
解得m=±$\sqrt{3}$．
由于A在第一象限，可得m＞0，即m=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的方程和运用、直线与抛物线相交问题、三角形面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．