Question

8．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一个周期内的图象上有一个最大值点A（$\frac{π}{6}$，3）和一个最小值点B（$\frac{2π}{3}$，-5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）经过怎样的平移和伸缩变换可以将f（x）的图象变换为g（x）=cosx的图象．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出b和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）
在同一个周期内的图象上有一个最大值点A（$\frac{π}{6}$，3）和一个最小值点B（$\frac{2π}{3}$，-5），
可得b=$\frac{3-5}{2}$=-1，a=3-（-1）=4，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）将f（x）的图象向上平移一个单位可得y=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把纵坐标变为原来的$\frac{1}{4}$倍，可得y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得y=cos[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=cos2x的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的2倍，可得g（x）=cosx的图象．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出b和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．