Question

1．已知命题p：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：对任意实数x不等式x²+2mx+2m+3＞0恒成立．
（Ⅰ）若“￢q”是真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出命题q的等价条件，根据“￢q”是真命题，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q只有一个为真命题，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为对任意实数x不等式x²+2mx+2m+3＞0恒成立，
所以△=4m²-4（2m+3）＜0，解得-1＜m＜3，．…（2分）
又“￢qq”是真命题等价于“q”是假命题，．…（3分）
所以所求实数m的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）∵方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴0＜m＜2，…（6分）
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p，q为一个是真命题，一个是假命题，…（7分）
$当p真q假时，\left\{\begin{array}{l}0＜m＜2\\ m≤-1或m≥3\end{array}\right.$，无解…（9分），
$当p假q真时，\left\{\begin{array}{l}m≤0，或m≥2\\-1＜m＜3\end{array}\right.，则-1＜m≤0，或2≤m＜3$，…（11分）
综上所述，实数m的取值范围是（-1，0]∪[2，3）．…（12分）

点评 本题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．