Question

9．离心率为2的双曲线M：x²-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）上一点P到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为10，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于（　　）

• A． 12
• B． 14
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由题意，a=1，c=2，m=$\sqrt{3}$．设P到左、右焦点F₁，F₂的距离分别为s，t，则|s-t|=2，|s+t|=10，可得st=24，s²+t²=52，利用余弦定理求出cos＜$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＞$\frac{3}{4}$，即可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．

解答 解：由题意，a=1，c=2，m=3．
设P到左、右焦点F₁，F₂的距离分别为s，t，则|s-t|=2，|s+t|=10，
∴st=24，s²+t²=52，
∴cos＜$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＞=$\frac{52-16}{2×24}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=24×$\frac{3}{4}$=18．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．