Question

4．已知点P为抛物线C：x²=2py（p＞0）上任意一点，O为坐标原点，点M（0，m），若|PM|≥|OM|恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{p}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{p}{2}$]
• C． （-∞，p]
• D． （-∞，2p]

Answer 1

分析 设抛物线C：x²=2py（p＞0）上任意一点P（x，$\frac{{x}^{2}}{2p}$），利用条件分类讨论，最后综合可得答案．

解答 解：设抛物线C：x²=2py（p＞0）上任意一点P（x，$\frac{{x}^{2}}{2p}$），
点M（0，m），|PM|≥|OM|
①m≤0，显然适合；
②若m＞0，点M（0，m），|PM|≥|OM|，即m²≤x²+（$\frac{{x}^{2}}{2p}$-m）²，即m≤p+$\frac{{x}^{2}}{4p}$，此时0＜m≤p．
∴m的取值范围是（-∞，p]．
故选：C．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生对抛物线和不等式知识的灵活掌握．