Question

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0．
（1）求C的大小；
（2）若c²=2b²-a²，且S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求a、b．

Answer 1

分析 （1）cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0，可得-cos（A+C）+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，可化为tanC=$\sqrt{3}$，即可得出B的值．
（2）由余弦定理可得c²=a²+b²-ab，又c²=2b²-a²，可得：2a²-b²=ab①，利用三角形面积公式可得：ab=8，②联立①②，即可解得a，b的值．

解答 解：（1）cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0，
∴-cos（A+C）+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，
化为sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π）．
解得C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-ab，
又∵c²=2b²-a²，
∴解得：a²+b²-ab=2b²-a²，可得：2a²-b²=ab①，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，解得：ab=8，②
∴联立①②，解得：a=2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．