Question

3．已知函数f（x）=x²-2（a+m）x+a²，g（x）=-x²+2（a-m）x-a²+2m²，（a，m∈R），定义H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p、q中较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值）记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（　　）

• A． -4m²
• B． 4m²
• C． a²-2a-4m²
• D． a²-2a+4m²

Answer 1

分析 先作差，得到h（x）=f（x）-g（x）=2（x-a）²-2m²．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0，利用新定义即可得出H₁（x），H₂（x）．进而得出A，B即可．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=x²-2（a+m）x+a²-[-x²+2（a-m）x-a²+2m²]
=2x²-4ax+2a²-2m²=2（x-a）²-2m²．（设m＞0），
①由2（x-a）²-2m²=0，解得x=a±m，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+m，或x＜a-m，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a-m＜x＜a+m，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：
（1）当x≤a-m时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+m）]²-2am-m²
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-m）]²-2am+3m²，
（2）当a-m≤x≤a+m时，H₁（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+m时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+m）=-[（a+m）-（a-m）]²-2am+3m²=-2am-m²，B=g（a-m）=-2am+3m²，
∴A-B=-2am-m²-（-2am+3m²）=-4m²．
故选：A．

点评 熟练掌握作差法、二次函数图象及其单调性、一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法是解题的关键．