Question

2．已知等比数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₃=34，a₂a₄=64，设S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1），若b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a₁=2，a₃=32，再由等比数列的通项公式求得首项和公比，由等比数列的求和公式可得S_n，求出b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=$\frac{4（{S}_{n}-{S}_{n-1}）}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=4（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）（n≥2），再由裂项相消求和可得T_n．

解答 解：设等比数列{a_n}是公比为q的递增的等比数列，
a₂a₄=64，可得a₁a₃=64，
又a₁+a₃=34，解得a₁=2，a₃=32，
即有q²=16，解得q=4（负的舍去），
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）；
b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=$\frac{4（{S}_{n}-{S}_{n-1}）}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=4（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）（n≥2），
前n项和T_n=4（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）
=4（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2（{4}^{n}-1）}$]=$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1），$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列求和的方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．