Question

17．已知f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π+x）-cos（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$．
（1）化简f（x）；
（2）若-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$且f（x）＜$\frac{1}{4}$，求x的范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式对函数f（x）的解析式进行化简，可得结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得x的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π+x）-cos（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$=$\frac{{[cosx•tanx+cosx]}^{2}-1}{-4cosx-cosx+cosx}$
=$\frac{2sinxcosx}{-4cosx}$=-$\frac{1}{2}$sinx．
（2）若-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$，且f（x）=-$\frac{1}{2}$sinx＜$\frac{1}{4}$，∴sinx＞-$\frac{1}{2}$，∴x∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
故x的范围为（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．