Question

7．已知函数f（x）=ln（e^kx+1）-x（其中e为自然对数的底数）为定义在R上的偶函数，且f（x）=lnu（x）．
（1）求实数k的值，并求函数u（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=e^2x+e^-2x-2p•u（x）的最小值为-3，求实数p的值；
（3）设函数h（x）=$\frac{{e}^{2x}+m•{e}^{x}+1}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有h（x₁）+h（x₂）≥h（x₃），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（-x）=f（x）恒成立，解出k，根据对数得运算性质得出u（x）；
（2）判断g（x）的单调性求出最小值，列方程解出p；
（3）由h（x₁）+h（x₂）≥h（x₃）可知h（x）为常数函数，令导数为0解出m．

解答 解：（1）f（x）=ln（e^kx+1）-x=ln（e^kx+1）-lne^x=ln$\frac{{e}^{kx}+1}{{e}^{x}}$．f（-x）=ln$\frac{{e}^{-kx}+1}{{e}^{-x}}$=ln（e^-kx+x+e^x）．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
∴e^-kx+x+e^x=$\frac{{e}^{kx}+1}{{e}^{x}}$，即e^（1-k）x+e^x=e^（k-1）x+$\frac{1}{e}$恒成立，∴1-k=-1，k=2．
∴u（x）=$\frac{{e}^{2x}+1}{{e}^{x}}$=e^x+e^-x．
（2））g（x）=e^2x+e^-2x-2p•（e^x+e^-x）=（e^x+e^-x）²-2p（e^x+e^-x）-2，
令e^x+e^-x=t，则t≥2，令F（t）=t²-2pt-2．则F（t）的图象开口向上，对称轴为t=p，
①若p≤2，则F（t）在[2，+∞）上是增函数，∴g_min（x）=F_min（t）=F（2）=2-4p=-3，解得p=$\frac{5}{4}$．
②若p＞2，则F（t）在[2，p]上是减函数，在（p，+∞）上是增函数，∴g_min（x）=F_min（t）=F（p）=-p²-2=-3．解得p=±1（舍）．
综上，p的值为$\frac{5}{4}$．
（3）∵对任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有h（x₁）+h（x₂）≥h（x₃），∴2h_min（x）≥h_max（x）．
令e^x=t，则t＞0，h（x）=$\frac{{t}^{2}+mt+1}{（t+1）^{2}}$=1+$\frac{m-2}{t+\frac{1}{t}+2}$．
①当m＞2时，h（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
$\underset{lim}{n→0}h（x）$=1，$\underset{lim}{n→+∞}h（x）$=1，h（1）=1+$\frac{m-2}{4}$，∴h（x）∈（1，1+$\frac{m-2}{4}$]，
∴2≥1+$\frac{m-2}{4}$，解得2＜m≤6．
②当m＜2时，h（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
$\underset{lim}{n→0}h（x）$=1，$\underset{lim}{n→+∞}h（x）$=1，h（1）=1+$\frac{m-2}{4}$，∴h（x）∈[1+$\frac{m-2}{4}$，1），
∴2+$\frac{m-2}{2}$≥1，解得0≤m＜2．
③当m=2时，h（x）=1，显然成立．
综上，m的取值范围是[0，6]．

点评 本题考查了对数得运算性质，函数的单调性与最值，属于中档题．