Question

6．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=$\frac{π}{2}$，D，E分别为BC，AB上的点，∠ADC=∠EDB=$\frac{π}{4}$，DB=$\sqrt{2}$，AE=3EB，则边长AC的值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，在两个三角形中，分别建立方程，即可得出结论．

解答 解：由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，
∴△DEB中，x²=2+y²-2$\sqrt{2}y•\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+y²-2y，
△ABC中，16x²=（$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$）²+（$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$+$\sqrt{2}$）²，
联立解得AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．