Question

对于定义域内的任意实数x，函数f（x）=

x2+(a-1)x-2a+2

2x2+ax-2a

的值恒为正数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．

解答： 解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，
则

a-1= a 2 -a=-2a+2

，解得a=2．
此时函数的值为f（x）=

1

2

＞0．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，
则需要分子分母的判别式均小于0，
即

(a-1)2-4(2-2a)＜0 a2-4×2×(-2a)＜0

，
解得-7＜a＜0．
∴a的范围是-7＜a＜0．
当a=0时，函数化为f（x）=

x2-x+2

2x2

，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，
分子恒大于0，函数值恒正．
综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是-7＜a≤0或a=2．
故答案为：-7＜a≤0或a=2．

点评：本题考查恒成立问题，考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围，解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况，属中档题．