Question

已知函数f(x)=，g(x)=.

（1）证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x）的单调区间；

（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

Answer 1

（1）证明见解析（2）f(x²)-5f(x)g(x)=0

解析:

（1）证明  f（-x）==-f(x),

设x₁＞x₂＞0,由于y=x在R上递增，∴x＞x.又(x₁x₂)^-＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=（x-x₁-x₂+ ）=＞0.

即f(x)在（0，+∞）上递增.

同理f(x)在（-∞,0)上也递增.

故f(x)在（-∞,0)和（0，+∞）上单调递增.

（2）解  f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,

且f(x²)-5f(x)g(x)=0.

证明如下：

f(x²)-5f(x)g(x)=