【题目】设函数f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当 时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
【答案】
(1)解:当k=1时,f(x)=(x﹣1)ex﹣x2,
f'(x)=ex+(x﹣1)ex﹣2x=x(ex﹣2)
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln2>0
所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,ln2) | ln2 | (ln2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,0)和(ln2,+∞),单调减区间为(0,ln2)
(2)解:f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2,x∈[0,k], .
f'(x)=xex﹣2kx=x(ex﹣2k),f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k)
令φ(k)=k﹣ln(2k), ,
所以φ(k)在 上是减函数,∴φ(1)≤φ(k)<φ ,∴1﹣ln2≤φ(k)< <k.
即0<ln(2k)<k
所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x | (0,ln(2k)) | ln(2k) | (ln(2k),k) |
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
f(0)=﹣1,
f(k)﹣f(0)
=(k﹣1)ek﹣k3﹣f(0)
=(k﹣1)ek﹣k3+1
=(k﹣1)ek﹣(k3﹣1)
=(k﹣1)ek﹣(k﹣1)(k2+k+1)
=(k﹣1)[ek﹣(k2+k+1)]
∵ ,∴k﹣1≤0.
对任意的 ,y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方,所以ek﹣(k2+k+1)≤0
所以f(k)﹣f(0)≥0,即f(k)≥f(0)
所以函数f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k﹣1)ek﹣k3.
【解析】(1)利用导数的运算法则即可得出f′(x),令f′(x)=0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区间;(2)利用导数的运算法则求出f′(x),令f′(x)=0得出极值点,列出表格得出单调区间,比较区间端点与极值即可得到最大值.
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【题目】过点(1,1)且与曲线y=x3相切的切线方程为( )
A.y=3x﹣2
B.y= x+
C.y=3x﹣2或y= x+
D.y=3x﹣2或y= x﹣
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【题目】已知关于x的二次函数f(x)=ax2﹣4bx+1. (Ⅰ)设集合A={﹣1,1,2,3,4,5}和B={﹣2,﹣1,1,2,3,4},分别从集合A,B中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
(Ⅱ)设点(a,b)是区域 内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象经过点(1,﹣3)且在x=1处f(x)取得极值.求:
(1)函数f(x)的解析式;
(2)f(x)的单调递增区间.
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【题目】如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合.
(1)当CF=1时,求证:EF⊥A1C;
(2)设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ,求tanθ的最小值.
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【题目】在实数集R中定义一种运算“⊙”,具有性质:①对任意a、b∈R,a⊙b=b⊙a;②a⊙0=a;③对任意a、b∈R,(a⊙b)⊙c=(ab)⊙c+(a⊙c)+(b⊙c)﹣2c,则函数f(x)=x⊙ 的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
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