Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点,点为上一点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角 的余弦值；

（3）设，若，写出的值（不需写过程）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）证明 平面，只要在面内找到一条直线与平行；

（2）以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出两个面的法向量，再求法向量的夹角，结合图形发现二面角的平面角为钝角，从而求得二面角的余弦值。

（3）由，可证得平面，进而得到，再利用相似得到为中点。

（1）连接交于，连接，

因为四边形为矩形，，为对角线，

所以为中点，又因为为中点，

所以，平面，平面，

所以 //平面.

（2）因为底面，所以底面，

又，所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，.，，

设平面的法向量为,则有，即

令，则.

由题意底面，所以为平面的法向量，

所以，又由图可知二面角为钝二面角，

所以二面角 的余弦值为。

（3）.