Question

3．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=BC=2，AA₁=1，点E，F分别是A₁B₁，B₁C₁的中点，点O是AB与BD的交点．
（1）证明：OB₁⊥平面BEF；
（2）求平面BEF与平面OFB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用直线垂直和向量数量积之间的关系，结合线面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：建立以D为坐标原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=BC=2，AA₁=1，点E，F分别是A₁B₁，B₁C₁的中点，点O是AB与BD的交点．
∴O（1，1，0），B₁（2，2，1），A₁（2，0，1），C₁（1，2，1），
C（0，2，0），E（2，1，1），F（1，2，1），
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=（1，1，1）•（-1，1，0）=-1+1=0，
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{EF}$，OB₁⊥EF，
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{BF}$=（1，1，1）•（-1，0，1）=-1+1=0，
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{BF}$，OB₁⊥BF，
∵EF∩BF=F，
∴OB₁⊥平面BEF；
（2）∵OB₁⊥平面BEF，
∴$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，1，1），是平面BEF的一个法向量，
设OFB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{OB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=1，
则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{O{B}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||O{B}_{1}|}$=$\frac{1-1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$
即平面BEF与平面OFB所成锐二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法证明直线垂直和求二面角是解决本题的关键．