Question

13．在三棱锥S-ABC中，底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC的三条边长分别为AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{6}$，则三棱锥S-ABC的体积（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知棱锥的四个面全等，棱锥可看做面对角线分别为$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$的长方体切去四个全等的小棱锥得到的，使用做差法计算棱锥的体积．

解答 解：∵底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，
∴三棱锥的三个侧面与底面ABC全等．
∴三棱锥S-ABC可看做是面对角线分别为$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．
设长方体的棱长为x，y，z，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=5}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{y}^{2}=2}\\{{z}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴xyz=$\sqrt{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴三棱锥的体积V=xyz-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}xyz×4$=$\frac{1}{3}xyz$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．